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Resolução de Sistemas Lineares

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, regra de Cramer, passo a passo detalhado e verificação automática da solução.

Sistemas 2×2, 3×3 e 4×4 Resultado imediato

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Como usar

Escolha o método

Selecione Eliminação de Gauss (até 4×4) ou Regra de Cramer (até 3×3).

Defina a dimensão

Clique em 2×2, 3×3 ou 4×4 para ajustar o tamanho da matriz.

Preencha os coeficientes

Insira os valores na matriz aumentada [A|b]. Use "Exemplo" para teste rápido.

Clique em Resolver

Veja o tipo de solução, os valores das variáveis e o passo a passo completo.

Matriz Aumentada [A|b]

Dimensão do sistema:

Como funciona

O método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial transforma a matriz aumentada [A|b] em forma escalonada usando operações elementares:

Troca de linhas (para o maior pivô possível)
Multiplicação de uma linha por escalar não nulo
Adição de múltiplo de uma linha a outra

O tipo da solução é determinado pelos postos:

Solução única: rank(A) = rank([A|b]) = n
Infinitas soluções: rank(A) = rank([A|b]) < n
Sem solução: rank(A) < rank([A|b])

Regra de Cramer (2×2 e 3×3)

Dimensão:

Regra de Cramer — Fórmula

Para um sistema Ax = b com det(A) ≠ 0, a solução é dada por:

x_i = det(A_i) / det(A)

onde A_i é a matriz A com a i-ésima coluna substituída pelo vetor b. Válido apenas para sistemas quadrados com solução única.

O que são sistemas de equações lineares

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau envolvendo as mesmas variáveis (x₁, x₂, …, xₙ). O objetivo é encontrar os valores que satisfazem todas as equações simultaneamente. A representação matricial Ax = b condensa o sistema em uma matriz de coeficientes A, um vetor de variáveis x e um vetor de termos independentes b.

A matriz aumentada [A|b] é a forma compacta de escrever o sistema, onde os coeficientes e os termos independentes ficam lado a lado. A análise dos postos (rank) dessa matriz determina se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial

A Eliminação de Gauss é o método mais geral: funciona para sistemas 2×2, 3×3 e 4×4 (ou qualquer dimensão). O algoritmo reduz a matriz aumentada a uma forma escalonada por linhas usando três tipos de operações elementares: troca de linhas, multiplicação por escalar e combinação linear de linhas.

O pivoteamento parcial escolhe sempre o maior valor absoluto da coluna como pivô antes de eliminar os elementos abaixo. Isso reduz erros de arredondamento em aritmética de ponto flutuante e evita divisão por valores próximos de zero. Após o escalonamento, a substituição retroativa resolve as variáveis de baixo para cima.

Regra de Cramer e determinantes

A Regra de Cramer oferece uma fórmula fechada para a solução de sistemas com solução única: cada variável xᵢ é calculada como a razão entre o determinante da matriz Aᵢ (A com a coluna i substituída por b) e o determinante de A. É elegante do ponto de vista matemático e útil para demonstrações teóricas.

Na prática, a Regra de Cramer é eficiente apenas para sistemas pequenos (2×2 e 3×3), pois o cálculo de determinantes de matrizes maiores tem custo computacional exponencial. Para sistemas maiores, a Eliminação de Gauss é significativamente mais eficiente.

Quando usar cada método

Use a Eliminação de Gauss quando o sistema for 4×4, quando houver dúvida sobre o tipo de solução (única, infinita, impossível) ou quando precisar ver o passo a passo completo com análise de posto. É o método mais robusto e geral disponível nesta ferramenta.

Use a Regra de Cramer quando o sistema for 2×2 ou 3×3 e você precisar ver as fórmulas com determinantes explicitados. É ideal para fins didáticos e quando o professor exige o desenvolvimento pelo método de Cramer. Em ambos os casos, esta calculadora mostra a classificação do sistema (SPD, SPI ou SI) e verifica automaticamente a solução.