1. Progressão Aritmética (PA)
Uma Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é sempre constante — chamada de razão r. Exemplos clássicos incluem a sequência de números pares (2, 4, 6, 8...) ou a contagem de anos (2020, 2021, 2022...).
As duas fórmulas fundamentais da PA são o termo geral (aₙ = a₁ + (n-1)·r) e a soma dos n primeiros termos (Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2). A soma é especialmente elegante: multiplica-se o número de termos pela média entre o primeiro e o último.
"A história conta que Gauss, ainda criança, encontrou a soma de 1 a 100 em segundos usando exatamente a fórmula da soma de PA: 100·(1+100)/2 = 5050."
2. Progressão Geométrica (PG)
Em uma Progressão Geométrica, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão q. A PG modela fenômenos de crescimento ou decaimento exponencial — como juros compostos, crescimento populacional, desintegração radioativa e inflação acumulada.
Quando a razão satisfaz |q| < 1, a PG converge: a soma de infinitos termos é finita e igual a a₁/(1-q). Esse resultado é a base matemática de séries de pagamento perpétuo em finanças.
3. Aplicações práticas
- Juros simples: o valor acumulado cresce em PA (mesmo valor adicionado a cada período)
- Juros compostos: o valor acumulado cresce em PG (razão q = 1 + taxa)
- Música: as frequências das notas musicais formam uma PG de razão ≈ 1,0595 (12ª raiz de 2)
- Escalas: sequências de tamanhos padronizados (papel A4, A3...) seguem uma PG
4. Progressões no ENEM
Progressões aparecem frequentemente no ENEM em contextos financeiros e de crescimento. As questões mais comuns envolvem encontrar o valor de um investimento com juros compostos (PG), a soma de parcelas de uma dívida (PA) ou o número de termos necessários para atingir determinado valor.
O ENEM raramente exige cálculos muito grandes: quase sempre a razão e o número de termos são pequenos o suficiente para calcular à mão ou reconhecer o padrão. Saber identificar se a situação é PA ou PG já resolve metade do problema.